Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{x} + 10$ comme une équation.

$y = \sqrt{x} + 10$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y} + 10$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{y} = x - 10$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 10)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 10)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 10)}^{2}$ comme $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ comme $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.2

Développez $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.1.4

Multipliez $10$ par $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $10 \sqrt{x}$ et $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- 20$ par $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $20 \sqrt{x}$ de $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $200$ de $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 100 + 100$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 100$ et $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 20 x + 100)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.4.1.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Étape 5.3.4.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Étape 5.3.4.1.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Étape 5.3.4.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 10 + 10$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$