Pré-calcul Exemples

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.5

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 ((x + h) (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.6

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x (x + h) + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.7.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.7.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.7.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.7.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.9

Multipliez $2$ par $24$ .

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 (h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

Étape 2.1.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 179 x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.2.4

Déplacez $24 x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 48 h x + 24 h^{2} + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.2.5

Déplacez $48 h x$ .

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.2.6

Déplacez $- x^{3}$ .

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.2.7

Déplacez $- 3 h x^{2}$ .

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.2.8

Remettez dans l’ordre $- 3 h^{2} x$ et $- h^{3}$ .

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - (- x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - - x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- - x^{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 1 x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 179$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 1 \cdot 495}{h}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $495$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 0 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- h^{3}$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $24 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 0 + 179 x - 495}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $- h^{3}$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 179 x - 495}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 179 x$ et $179 x$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0 + 495 - 495}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $- h^{3}$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 495 - 495}{h}$

Étape 4.1.9

Soustrayez $495$ de $495$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ et $0$ .

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11

Factorisez $h$ à partir de $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ .

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Étape 4.1.11.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{3}$ .

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h^{2} x$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h x^{2}$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11.4

Factorisez $h$ à partir de $24 h^{2}$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + 48 h x - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11.5

Factorisez $h$ à partir de $48 h x$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) - 179 h}{h}$

Étape 4.1.11.6

Factorisez $h$ à partir de $- 179 h$ .

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Étape 4.1.11.7

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Étape 4.1.11.8

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Étape 4.1.11.9

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Étape 4.1.11.10

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x)$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179}{h}$

Étape 4.1.11.11

Factorisez $h$ à partir de $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179$ .

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$ par $1$ .

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $24 h$ .

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $- h^{2}$ .

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Étape 4.2.2.4

Remettez dans l’ordre $- 3 x h$ et $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

Étape 5