Pré-calcul Exemples

Find $(g \cdot h) (x)$ if $g (x) = x^{2} + 4 x + 9$ and $h (x) = x^{2} - 5 x + 10$

Étape 1

Évaluez $g \cdot h$ .

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Étape 1.1

Remplacez les indicateurs de fonctions dans $g \cdot h$ par les fonctions réelles.

$(x^{2} + 4 x + 9) \cdot (x^{2} - 5 x + 10)$

Étape 1.2

Développez $(x^{2} + 4 x + 9) (x^{2} - 5 x + 10)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 5 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - 5 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - 5 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - 5 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.4

Déplacez $10$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x \cdot x + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.8

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.9

Multipliez $10$ par $4$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.10

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 9 \cdot 10$

Étape 1.3.1.11

Multipliez $9$ par $10$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Étape 1.3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.2.1

Additionnez $- 5 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $20 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$x^{4} - x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

Étape 1.3.2.3

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 40 x - 45 x + 90$

Étape 1.3.2.4

Soustrayez $45 x$ de $40 x$ .

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$

Étape 2

Évaluez $g \cdot h$ sur $x$ .

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

Étape 3

Simplifiez ${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$ .

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Étape 3.1

Supprimez les parenthèses.

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$