Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 3$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 8.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{3 x^{2} - 27}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 27$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2}) - 27}$

Étape 8.1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}$

Étape 8.1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 9)}$

Étape 8.1.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 3^{2})}$

Étape 8.1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2

Développez $x (x - 4) (x + 2)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.5

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.7

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.8

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.9

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.10

Multipliez $2$ par $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.11

Multipliez $- 4$ par $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.18

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.20

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.23

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.24

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.26

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.27

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.2.28

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

Étape 8.3

Développez $3 (x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(3 x + 3 \cdot 3) (x - 3)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x - 3) + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

Étape 8.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.5

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.10

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.11

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

Étape 8.3.12

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3}$

Étape 8.3.13

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x - 27}$

Étape 8.3.14

Additionnez $- 9 x$ et $9 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 0 - 27}$

Étape 8.3.15

Soustrayez $27$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 9 x$

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 8.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 0 + 18$

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

Étape 8.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{x - 18}{3 x^{2} - 27}$

Étape 8.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 10