Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{x + 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y + 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y + 7} = x$ .

$\sqrt[3]{y + 7} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y + 7}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y + 7}$ comme ${(y + 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 7)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y + 7 = x^{3}$

Étape 3.4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{3} - 7$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(\sqrt[3]{x + 7})}^{3} - 7$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 7}}^{3}$ comme $x + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 7$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 7$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = {(x + 7)}^{\frac{3}{3}} - 7$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = (x + 7) - 7$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x + 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{(x^{3} - 7) + 7}$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (x^{3} - 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} - 7) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 7$