Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x + 6)}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(x + 6)}^{3}$ comme une équation.

$y = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(y + 6)}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(y + 6)}^{3} = x$ .

${(y + 6)}^{3} = x$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y + 6 = \sqrt[3]{x}$

Étape 3.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{x} - 6$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 6$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ est l’inverse de $f (x) = {(x + 6)}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x + 6)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 6)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x + 6)}^{3}} - 6$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} ({(x + 6)}^{3}) = \sqrt[3]{{(x + 6)}^{3}} - 6$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(x + 6)}^{3}) = x + 6 - 6$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x + 6 - 6$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} ({(x + 6)}^{3}) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 6)}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{x} - 6)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = {((\sqrt[3]{x} - 6) + 6)}^{3}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\sqrt[3]{x} - 6) + 6$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = x$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{x} - 6) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ est l’inverse de $f (x) = {(x + 6)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} - 6$