Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

Étape 1

Divisez $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ en utilisant la division synthétique et vérifiez si le reste est égal à $0$ . Si le reste est égal à $0$ , cela signifie que $x + 2$ est un facteur pour $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ . Si le reste n’est pas égal à $0$ , cela signifie que $x + 2$ n’est pas un facteur pour $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

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Étape 1.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

Étape 1.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

Étape 1.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Étape 1.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

Étape 1.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

Étape 1.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Étape 1.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Étape 1.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Étape 1.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 8)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Étape 1.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

Étape 1.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

Étape 1.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 8$

Étape 2

Le reste de la division $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ est $0$ , ce qui signifie que $x + 2$ est un facteur pour $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

$x + 2$ est un facteur pour $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$

Étape 3

Déterminez toutes les racines possibles pour $x^{3} - 8$ .

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 4

Définissez la division suivante pour déterminer si $x - 2$ est un facteur du polynôme $x^{3} - 8$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Étape 5

Divisez l’expression en utilisant la division synthétique afin de déterminer si c’est un facteur du polynôme. Comme $x - 2$ se divise parfaitement en $x^{3} - 8$ , $x - 2$ est un facteur du polynôme et il reste un polynôme de $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Étape 5.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Étape 5.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

Étape 5.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

Étape 5.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

Étape 5.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Étape 5.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Étape 5.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Étape 5.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

Étape 5.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 2 x + 4$

Étape 5.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 2 x + 4$

Étape 6

Déterminez toutes les racines possibles pour $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Étape 6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 7

Le facteur final est le seul facteur sorti de la division synthétique.

$x^{2} + 2 x + 4$

Étape 8

Le polynôme factorisé est $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$