Pré-calcul Exemples

$f (x) = 8 x^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 8 x^{7}$ comme une équation.

$y = 8 x^{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 8 y^{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 y^{7} = x$ .

$8 y^{7} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 y^{7} = x$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y^{7} = x$ par $8$ .

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y^{7}}{8} = \frac{x}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y^{7}$ par $1$ .

$y^{7} = \frac{x}{8}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{8}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\sqrt[7]{\frac{x}{8}}$ comme $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (8 x^{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \frac{\sqrt[7]{8 x^{7}}}{\sqrt[7]{8}}$

Étape 5.2.3

Associez $\sqrt[7]{8 x^{7}}$ et $\sqrt[7]{8}$ en un radical unique.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1

Réduisez l’expression $\frac{8 x^{7}}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Étape 5.2.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (8 x^{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}})}^{7}$

Étape 5.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x}$ comme $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{\sqrt[7]{8}}^{7}})$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ comme $8$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{8}$ comme $8^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{{(8^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8^{\frac{7}{7}}})$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = 8 (\frac{x}{8})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$ est l’inverse de $f (x) = 8 x^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{8}}$