Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ , $[- 2, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + 6 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $- 6 x^{2} + 6$ et $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(- 2, 2)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(- 2, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(- 2, 2)$ car la dérivée est continue sur $(- 2, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[- 2, 2]$ et différentiable sur $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ et différentiable sur $(- 2, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[- 2, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{3}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 6 (- 2) - 2$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 6 (- 2) - 2$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 16 + 6 (- 2) - 2$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 12 - 2$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $12$ de $16$ .

$f (- 2) = 4 - 2$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (- 2) = 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[- 2, 2]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - 2 {(2)}^{3} + 6 (2) - 2$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = - 2 \cdot 8 + 6 (2) - 2$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f (2) = - 16 + 6 (2) - 2$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (2) = - 16 + 12 - 2$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $12$ .

$f (2) = - 4 - 2$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f (2) = - 6$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 9

Résolvez $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(- 6) - (2)}{(2) - (- 2)}$ .

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Étape 9.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.1

Annulez le facteur commun à $(- 6) - (2)$ et $(2) - (- 2)$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6) - (2)}{(2) - (- 2)}$

Étape 9.1.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - (2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6 + 2)}{(2) - (- 2)}$

Étape 9.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (6 + 2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 - (- 2)}$

Étape 9.1.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) - (- 2)}$

Étape 9.1.1.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- (- 2)$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) + 2 (- (- 1))}$

Étape 9.1.1.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- (- 1))$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Étape 9.1.1.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

Étape 9.1.1.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (3 + 1)}{1 - (- 1)}$

Étape 9.1.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 - (- 1)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 + 1}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{2}$

Étape 9.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 4}{2}$

Étape 9.1.3.2

Divisez $- 4$ par $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 = - 2$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{2} = - 2 - 6$

Étape 9.2.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$- 6 x^{2} = - 8$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 8$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 8$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 6}$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 6$ .

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Étape 9.3.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 2 (4)}{- 6}$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Étape 9.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

Étape 9.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Étape 9.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 9.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.5.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 9.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 9.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 9.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$

Étape 12