Pré-calcul Exemples

$\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$m^{2} + m + m n + n = 0$

Étape 2

Résolvez $m$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1 + n$ et $c = n$ dans la formule quadratique et résolvez pour $m$ .

$\frac{- (1 + n) \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez ${(1 + n)}^{2}$ comme $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4

Développez $(1 + n) (1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.1.4

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.7

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 2.3.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Réécrivez ${(1 + n)}^{2}$ comme $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Développez $(1 + n) (1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.1.4

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.7

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 2.4.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$m = \frac{- 1 - n + n - 1}{2}$

Étape 2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$m = \frac{- n + n - 2}{2}$

Étape 2.4.4.2

Additionnez $- n$ et $n$ .

$m = \frac{0 - 2}{2}$

Étape 2.4.4.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$m = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.5

Divisez $- 2$ par $2$ .

$m = - 1$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 \cdot 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez ${(1 + n)}^{2}$ comme $(1 + n) (1 + n)$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{(1 + n) (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Développez $(1 + n) (1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 (1 + n) + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n (1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 1 n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n \cdot 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.1.4

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.7

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 2.5.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{- 1 - n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$m = \frac{- 1 - n - (n - 1)}{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{- 1 - n - n + 1}{2}$

Étape 2.5.4.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Étape 2.5.4.4

Additionnez $- n - n$ et $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Étape 2.5.4.5

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 n$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$m = \frac{- n}{1}$

Étape 2.5.5.2.4

Divisez $- n$ par $1$ .

$m = - n$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$m = - 1, - n$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$m^{2} - m + m n - n = 0$

Étape 4

Résolvez $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1 + n$ et $c = - n$ dans la formule quadratique et résolvez pour $m$ .

$\frac{- (- 1 + n) \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- n))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez ${(- 1 + n)}^{2}$ comme $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Développez $(- 1 + n) (- 1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5.1.5

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5.2

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.7

Additionnez $- 2 n$ et $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 4.3.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Réécrivez ${(- 1 + n)}^{2}$ comme $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Développez $(- 1 + n) (- 1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5.1.5

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5.2

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7

Additionnez $- 2 n$ et $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 4.4.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$m = \frac{1 - n + n + 1}{2}$

Étape 4.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$m = \frac{- n + n + 2}{2}$

Étape 4.4.4.2

Additionnez $- n$ et $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Étape 4.4.4.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Étape 4.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$m = 1$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(- 1 + n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Réécrivez ${(- 1 + n)}^{2}$ comme $(- 1 + n) (- 1 + n)$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{(- 1 + n) (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Développez $(- 1 + n) (- 1 + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 (- 1 + n) + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n (- 1 + n) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 1 n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.1.2

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n + n \cdot - 1 + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - 1 \cdot n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.1.4

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n \cdot n - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.1.5

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - n - n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5.2

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} - 4 \cdot (- 1 n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 - 2 n + n^{2} + 4 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.7

Additionnez $- 2 n$ et $4 n$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{1 + n^{2} + 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 4.5.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{n^{2} + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 - n \pm \sqrt{{(n + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n \pm (n + 1)}{2}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$m = \frac{1 - n - (n + 1)}{2}$

Étape 4.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 - n - n - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = \frac{1 - n - n - 1}{2}$

Étape 4.5.4.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$m = \frac{- n - n + 0}{2}$

Étape 4.5.4.4

Additionnez $- n - n$ et $0$ .

$m = \frac{- n - n}{2}$

Étape 4.5.4.5

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$m = \frac{- 2 n}{2}$

Étape 4.5.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 n$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2}$

Étape 4.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$m = \frac{2 (- n)}{2 (1)}$

Étape 4.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$m = \frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$m = \frac{- n}{1}$

Étape 4.5.5.2.4

Divisez $- n$ par $1$ .

$m = - n$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$m = 1, - n$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{m^{2} + m - m n - n}{m^{2} + m + m n + n} \div \frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{m^{2} - m - m n + n}{m^{2} - m + m n - n} = 0$

Étape 6

Résolvez $m$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$m^{2} - m - m n + n = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1 - n$ et $c = n$ dans la formule quadratique et résolvez pour $m$ .

$\frac{- (- 1 - n) \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot n)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Multipliez $- - n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez ${(- 1 - n)}^{2}$ comme $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Développez $(- 1 - n) (- 1 - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.2

Multipliez $- 1 (- n)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.2.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.3

Multipliez $- n \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.6.1.5.1

Déplacez $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.1.7

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.8

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 6.2.3.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.3

Multipliez $- - n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.4

Réécrivez ${(- 1 - n)}^{2}$ comme $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5

Développez $(- 1 - n) (- 1 - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.2

Multipliez $- 1 (- n)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.2.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.3

Multipliez $- n \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.4.1.6.1.5.1

Déplacez $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.1.7

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.8

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.4.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 6.2.4.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$m = \frac{1 + n + n - 1}{2}$

Étape 6.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$m = \frac{n + n + 0}{2}$

Étape 6.2.4.4.2

Additionnez $n + n$ et $0$ .

$m = \frac{n + n}{2}$

Étape 6.2.4.4.3

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{2 n}{2}$

Étape 6.2.4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$m = \frac{2 n}{2}$

Étape 6.2.4.5.2

Divisez $n$ par $1$ .

$m = n$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $- - n$ .

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Étape 6.2.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + 1 n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(- 1 - n)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.4

Réécrivez ${(- 1 - n)}^{2}$ comme $(- 1 - n) (- 1 - n)$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{(- 1 - n) (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5

Développez $(- 1 - n) (- 1 - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 (- 1 - n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n (- 1 - n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 - 1 (- n) - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.2

Multipliez $- 1 (- n)$ .

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Étape 6.2.5.1.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 1 n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.2.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n - n \cdot - 1 - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.3

Multipliez $- n \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.6.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + 1 n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - n (- n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.6.1.5.1

Déplacez $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + 1 n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.1.7

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n + n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6.2

Additionnez $n$ et $n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot 1 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + 2 n + n^{2} - 4 \cdot n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.8

Soustrayez $4 n$ de $2 n$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{1 + n^{2} - 2 n}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 n + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Étape 6.2.5.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 1$ .

$m = \frac{1 + n \pm \sqrt{{(n - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = \frac{1 + n \pm (n - 1)}{2}$

Étape 6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$m = \frac{1 + n - (n - 1)}{2}$

Étape 6.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Étape 6.2.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = \frac{1 + n - n + 1}{2}$

Étape 6.2.5.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$m = \frac{n - n + 2}{2}$

Étape 6.2.5.4.4

Soustrayez $n$ de $n$ .

$m = \frac{0 + 2}{2}$

Étape 6.2.5.4.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$m = \frac{2}{2}$

Étape 6.2.5.5

Divisez $2$ par $2$ .

$m = 1$

Étape 6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$m = n, 1$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $m$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${m | m \neq 1, - 1, m \neq - n, m \neq n}$ , pour tout entier $n$