Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Étape 2.1.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.1.3.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.1.3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Étape 2.2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Étape 2.7

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 4, 2$

Étape 2.8

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Étape 2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $- 1.75$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 2.10.3.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Étape 2.10.3.3

Le côté gauche $- 5.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Étape 2.10.4.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 1$ ou $x > 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Étape 6