Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ est indéfinie.

$x = 3, x = 5$

Étape 2

Comme $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la gauche et $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la droite, $x = 5$ est une asymptote verticale.

$x = 5$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{(x - 5) (x - 3)}$

Étape 6.2

Développez $(x - 5) (x - 3)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x (x - 3) - 5 (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 (x - 3)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{1 + 1} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x + 15}$

Étape 6.2.10

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$x$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$13$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

$21$

$13 x^{2}$

$104 x$

$195$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x^{2} - 104 x + 195$

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$
									+	$72 x$	-	$216$

Étape 6.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + 13 + \frac{72 x - 216}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 6.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 13$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 5$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 13$

Étape 8