Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (3 - x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 - x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > - 3$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x > - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > - 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x < 3$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 1 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 1$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{1}$

Étape 4.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | \geq 1$

Étape 4.4

Écrivez $| x | \geq 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 1$

Étape 4.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 1$

Étape 4.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 1 & x \geq 0 \\ - x \geq 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 1$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 1$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{1}{- 1}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x \leq - 1$

Étape 4.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{\ln (3 - x)}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 6.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 6.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 6.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 6.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (1, 3)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 1, 1 < x < 3}$

Étape 8