Pré-calcul Exemples

$\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 5^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Étape 2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 5$ .

${(y - 5)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y^{2} - 3 y - 10 = 0$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Factorisez $y^{2} - 3 y - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y - 5) (y + 2) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 2 = 0$

Étape 4.3

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 4.4

Définissez $y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 5) (y + 2) = 0$ vraie.

$y = 5, - 2$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{y^{2} - 16}{y^{2} - 10 y + 25} \div \frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{3 y - 12}{y^{2} - 3 y - 10} = 0$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 y - 12 = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 12$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 12$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{12}{3}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$y = 4$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq - 2, 4, 5}$

Étape 8