Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

Étape 1.1.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y - x^{2} + 6 x = k$

Étape 1.1.3

Soustrayez $k$ des deux côtés de l’équation.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

Étape 1.1.4

Déplacez $6 x$ .

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

Étape 1.1.5

Déplacez $y$ .

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- x^{2} + 6 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $36$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$e = 9$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

Étape 1.3

Remplacez $- x^{2} + 6 x$ par $- {(x - 3)}^{2} + 9$ dans l’équation $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

Étape 1.4

Déplacez $9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

Étape 1.5

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(3, 1), (3, - 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - \sqrt{2})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 8.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 10

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 10.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Étape 10.2.1

Additionnez $1 \cdot (x - (3))$ et $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (3))$

Étape 10.2.2

Multipliez $x - (3)$ par $1$ .

$y = x - (3)$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = x - 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Étape 11.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Additionnez $- 1 \cdot (x - (3))$ et $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - x + 3$

Étape 12

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x - 3, y = - x + 3$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(3, 0)$

Sommets : $(3, 1), (3, - 1)$

Foyers : $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Excentricité : $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptotes : $y = x - 3$ , $y = - x + 3$

Étape 14