Pré-calcul Exemples

$\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{y + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$y + 1 \geq 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$y \geq - 1$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{y - 1}{y \sqrt{y + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y \sqrt{y + 1} = 0$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(y \sqrt{y + 1})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${(y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $y {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} {(y + 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez

$y^{2} (y + 1) = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.5.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot 1 = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{3} + y^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y^{3} + y^{2} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} + y^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$y^{2} y + y^{2} = 0$

Étape 4.3.1.2

Multipliez par $1$ .

$y^{2} y + y^{2} \cdot 1 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} y + y^{2} \cdot 1$ .

$y^{2} (y + 1) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y^{2} = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez $y^{2}$ égal à $0$ .

$y^{2} = 0$

Étape 4.3.3.2

Résolvez $y^{2} = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

Étape 4.3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y^{2} (y + 1) = 0$ vraie.

$y = 0, - 1$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y > - 1, y \neq 0}$

Étape 6