Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{5}}{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{5}}{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{5}}{3} = x$ .

$\frac{y^{5}}{3} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{5}}{3} = 3 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{5} = 3 x$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{3 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Étape 5.2.3

Associez $3$ et $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1

Réduisez l’expression $\frac{3 x^{5}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Étape 5.2.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Étape 5.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[5]{3 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 x})}^{5}}{3}$

Étape 5.3.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ comme $3 x$ .

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Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3}$

Étape 5.3.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{5}{5}}}{3}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 x}$