Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 5 x^{2} + 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 6.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x + 2) (x + 3))}{3 x^{2} + 9 x}$

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x^{2} + 9 x}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 9 x}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $9 x$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 3 x (3)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (3)$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

Étape 6.1.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

Étape 6.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{3}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3$

$x$

$2$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3$ .

			$\frac{x}{3}$
	$3$		$x$	+	$2$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x$

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$	+	$2$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 6.9

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{3}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{3}$

Étape 8