Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ est indéfinie.

$- 1 \leq x \leq 0$

Étape 2

Comme $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Comme $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 1, 0$

Étape 5

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Étape 5.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Étape 5.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite.

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Étape 5.5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.5.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Étape 5.8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 5.9

Évaluez la limite.

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Étape 5.9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 5.9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 5.9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 5.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Étape 5.9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 5.9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 5.9.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 5.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 5.11

Évaluez la limite.

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Étape 5.11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Étape 5.11.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.11.2.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 5.11.2.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 5.11.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.11.2.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Étape 5.11.2.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Étape 5.11.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 6

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Étape 6.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Étape 6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Étape 6.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.5

Évaluez la limite.

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Étape 6.5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.5.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.7

Évaluez la limite.

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Étape 6.7.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.7.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Étape 6.8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 6.9

Évaluez la limite.

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Étape 6.9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 6.9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 6.9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 6.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Étape 6.9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 6.9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 6.9.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 6.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 6.11

Évaluez la limite.

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Étape 6.11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Étape 6.11.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.11.2.1

Divisez $1 + 0$ par $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Étape 6.11.2.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Étape 6.11.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.11.2.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Étape 6.11.2.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Étape 6.11.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.11.2.5

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$3$

Étape 7

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = - 3, 3$

Étape 8

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1, 0$

Asymptotes horizontales : $y = - 3, 3$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 10