Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ est indéfinie.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Comme $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la droite, $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Comme $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ depuis la droite, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} + 0 - 2 x$

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

$15 x^{2}$

$3 x$

Étape 8.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Étape 8.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Étape 8.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Étape 8.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x^{2} + 0 + 5$

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Étape 8.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									+	$3 x$	-	$9$

Étape 8.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$2 x - 5 + \frac{3 x - 9}{3 x^{2} - 1}$

Étape 8.12

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 2 x - 5$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 2 x - 5$

Étape 10