Pré-calcul Exemples

$w (x) = \frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x + 3 x^{4}}{x^{2}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x + 3 x^{4}$ .

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Étape 5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x^{4}}{x^{2}}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 x^{3})}{x^{2}}$

Étape 5.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (3 x^{3})$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x^{2}}$

Étape 5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + 3 x^{3})}{x \cdot x}$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 3 x^{3}}{x}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 1}{x}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$0$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 0$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$

Étape 5.8

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$0$
						$0$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 5.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x^{2} + \frac{1}{x}$

Étape 5.10

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$3 x^{2} + \frac{x}{x^{2}}$

Étape 5.11

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x^{2}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x^{2}$

Étape 7