Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 1

Évaluez le numérateur dans $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

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Étape 1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 1}$

Étape 1.2

Remplacez les indicateurs de fonctions dans $f (x + h) - f (x)$ par les fonctions réelles.

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$

Étape 1.3

Simplifiez $(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Étape 1.3.2

Pour écrire $\frac{3}{x + h - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- \frac{3}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Étape 1.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h - 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $\frac{3}{x + h - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $\frac{3}{x - 1}$ par $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}$

Étape 1.3.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)$ .

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Étape 1.3.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 (x + h - 1)$ .

$\frac{3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))$ .

$\frac{3 (x - 1 - (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x - 1 - x - h - - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 (x - 1 - x - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{3 (0 - 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{3 (- 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.7

Additionnez $- h$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.8

Associez les exposants.

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Étape 1.3.6.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (3 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.6.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$ .

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2.2

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{(x + h - 1) (x - 1)}$