Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{y}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{2} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{y} = 2 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y = {(2 x)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(2 x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$y = 2^{2} x^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 4 x^{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt{x}}{2})}^{2}$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 5.2.4

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Étape 5.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Étape 5.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4 x^{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (4 x^{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$