Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{| x | - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$| x | - x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Écrivez $| x | - x \geq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.1.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x - x \geq 0$

Étape 2.1.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.1.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x - x \geq 0$

Étape 2.1.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.7

Soustrayez $x$ de $- x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.2

Résolvez $0 \geq 0$ quand $x \geq 0$ .

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Étape 2.2.1

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 2.2.2

Déterminez l’intersection.

$x \geq 0$

Étape 2.3

Résolvez $- 2 x \geq 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 0$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x \leq 0$

Étape 2.3.2

Déterminez l’intersection de $x \leq 0$ et $x < 0$ .

$x < 0$

Étape 2.4

Déterminez l’union des solutions.

Tous les nombres réels

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{| x | - x} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{| x | - x}$ comme ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$| x | - x = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| x | - x = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$| x | = x$

Étape 4.4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm x$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = x$

Étape 4.5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 4.5.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 4.5.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - x$

Étape 4.5.5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.5.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + x = 0$

Étape 4.5.5.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x = 0$

Étape 4.5.6

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.5.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.5.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 4.5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.6.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 4.5.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x =, 0$

Étape 4.6

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sqrt{| x | - x} = 0$ et en résolvant.

$x = 0$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 6