Pré-calcul Exemples

$\frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{4 x^{2} - 16}{- 5 x + 10}$ est indéfinie.

$x = 2$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 16$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16}{- 5 x + 10}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{- 5 x + 10}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4)}{- 5 x + 10}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{- 5 x + 10}$

Étape 6.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{- 5 x + 10}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x + 10$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 10}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x) + 5 (2)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x) + 5 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{5 (- x + 2)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et $- x + 2$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 2)}{5 (- x + 2)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x) - 1 (2))}{5 (- x + 2)}$

Étape 6.1.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Étape 6.1.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x + 2) (- 1 (- x + 2))}{5 (- x + 2)}$

Étape 6.1.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (x + 2) \cdot (- 1)}{5}$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Étape 6.1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (x + 2)}{5}$

Étape 6.2

Développez $- 4 (x + 2)$ .

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Étape 6.2.1

Commencez à développer.

$\frac{- 4 (x + 2)}{5}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 x - 4 \cdot 2}{5}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{- 4 x - 8}{5}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5$

$4 x$

$8$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5$ .

		-	$\frac{4 x}{5}$
	$5$	-	$4 x$	-	$8$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	-	$4 x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x$

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

	-	$\frac{4 x}{5}$
$5$	-	$4 x$	-	$8$
	+	$4 x$
		$0$	-	$8$

Étape 6.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{4 x}{5}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{4 x}{5}$

Étape 8