Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (\sqrt{x} + 1) = 1$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{3} (\sqrt{x} + 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x} + 1 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x} > - 1$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$x > {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x > 1$

Étape 2.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x} + 1$ .

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Étape 2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{- 2} + 1 > 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{0.5} + 1 > 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $1.70710678$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{4} + 1 > 0$

Étape 2.6.3.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 1$ ou $x > 1$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0, x \neq 1}$

Étape 5