Pré-calcul Exemples

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{\ln (x + y)}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ .

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

Étape 1.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\ln (x + y)}$ comme ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez ${(f x, f y)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Étape 4.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.4.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Développez $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ en déplaçant ${(f x, f y)}^{2}$ hors du logarithme.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Étape 4.4.2.3

Multipliez ${(f x, f y)}^{2}$ par $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Étape 4.4.3

Soustrayez $\ln (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Étape 4.4.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Étape 4.4.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Étape 4.4.6

Résolvez $y$ .

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Étape 4.4.6.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.4.6.2.1

Développez $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ en déplaçant ${(f x, f y)}^{2}$ hors du logarithme.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.2.3

Multipliez ${(f x, f y)}^{2}$ par $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.3

Soustrayez $\ln (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Étape 4.4.6.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Étape 4.4.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Étape 4.4.6.6

Résolvez $y$ .

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Étape 4.4.6.6.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.4.6.6.2.1

Développez $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ en déplaçant ${(f x, f y)}^{2}$ hors du logarithme.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.2.3

Multipliez ${(f x, f y)}^{2}$ par $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.3

Soustrayez $\ln (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

Étape 4.4.6.6.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

Étape 4.4.6.6.5

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

Étape 4.4.6.6.6

Résolvez $y$ .

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Étape 4.4.6.6.6.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.6.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.4.6.6.6.2.1

Développez $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ en déplaçant ${(f x, f y)}^{2}$ hors du logarithme.

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.6.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

Étape 4.4.6.6.6.2.3

Multipliez ${(f x, f y)}^{2}$ par $1$ .

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\ln (x + y)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + y > 0$

Étape 6

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > - y$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$