Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{1 - x^{3}} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{1 - x^{3}}$ comme ${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x^{3})}^{1} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$1 - x^{3} = 0^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - x^{3} = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} = - 1$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{3} + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 1$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 1 = 0$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 1)$ .

$- (x^{3} - 1) = 0$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$- (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 2.3.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 2.3.3.4

Factorisez.

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Étape 2.3.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.3.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Étape 2.3.3.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Étape 2.3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.3.6

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.6.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.3.6.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Étape 4