Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 3 y - 4 x = 17$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y - 4 x = 17 - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 17 - x^{2} + 4 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 17 - x^{2} + 4 x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 17 - x^{2} + 4 x$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{17}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{17}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez $\frac{17}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{4}{3}$

$c = \frac{17}{3}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{2}{3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = \frac{2}{- 3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 3}{3}}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3}}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.2.4.2.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{16}{9} (- \frac{3}{4}))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{9} \cdot - 3)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot - 3)$

Étape 1.2.5.2.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{17}{3} - - \frac{4}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.10

Multipliez $- - \frac{4}{3}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} + 1 (\frac{4}{3})$

Étape 1.2.5.2.1.10.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$e = \frac{17}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{17 + 4}{3}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $17$ et $4$ .

$e = \frac{21}{3}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $21$ par $3$ .

$e = 7$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 7$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 7$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{2} + 7$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 7$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 7)$

Étape 4