Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 3 x$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $3 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

Étape 2.1.7

Additionnez $- x$ et $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.1.8.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Étape 4