Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{- x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- x}}$

Étape 3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{- x}}$

Étape 3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{- x}}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $- x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 3.3.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1, 0$

Étape 6

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 1, 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 8