Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2^{x} + 5}{e^{x} + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2^{x} + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2^{x} + lim_{x \to - \infty} 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{0 + 5}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 + 5}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.5

Évaluez la limite.

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Étape 3.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{0 + 5}{0 + 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.2.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{5}{0 + 1}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 3.5.2.3

Divisez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 5$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 5$

Aucune asymptote oblique

Étape 7