Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{5 x^{2} + 23 x + 12}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{5 x^{2} + 23 x + 12}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 x^{2} + 23 x + 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 12 = 60$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$5 x^{2} + 23 (x) + 12 = 0$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $23$ comme $3$ plus $20$

$5 x^{2} + (3 + 20) x + 12 = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 3 x + 20 x + 12 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} + 3 x) + 20 x + 12 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x + 3) + 4 (5 x + 3) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 3$ .

$(5 x + 3) (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $5 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $5 x + 3$ égal à $0$ .

$5 x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $5 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 3$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 3$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 3$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{5}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{5}$

Étape 2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x + 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{5}, - 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - \frac{3}{5}) \cup (- \frac{3}{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - \frac{3}{5}, - 4}$

Étape 4