Pré-calcul Exemples

$G (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ est indéfinie.

$x = 0, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1}{x^{2} - x}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}{x^{2} - x}$

Étape 6.1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} - x}$

Étape 6.1.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{2} - x}$

Étape 6.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} - x}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x - x}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1)}{x}$

Étape 6.2

Développez $(x^{2} + 1) (x + 1)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)}{x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)}{x}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.2.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0$

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 6.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 6.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$

Étape 6.13

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Étape 6.14

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

Étape 6.15

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$0$

Étape 6.16

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 0$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$

Étape 6.17

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$
									+	$1$

Étape 6.18

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x}$

Étape 6.19

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$x^{2} + x + 1 + \frac{x - 1}{x^{2} - x}$

Étape 6.20

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{2} + x + 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{2} + x + 1$

Étape 8