Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{- 1} - 2 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} > 2$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 2 x$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = 1$ .

$2 x = 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le domaine de $x^{- 1} - 2$ .

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Étape 2.6.1

Définissez la base dans $x^{- 1}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.6.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 2.5$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 1.\overline{6}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Étape 3

Définissez la base dans $x^{- 1}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \frac{1}{2})$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

Étape 5