Pré-calcul Exemples

$\log_{9} (x^{2} - 2 x) = \log_{9} (2 x + 12)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{9} (x^{2} - 2 x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 2 x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 2 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$x (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 2$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < 0, x > 2}$

Étape 4