Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ est indéfinie.

$x = - \sqrt{5}, x = \sqrt{5}$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \sqrt{5}$ depuis la droite, $x = - \sqrt{5}$ est une asymptote verticale.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x + 3}{x^{2} - 5}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ depuis la droite, $x = \sqrt{5}$ est une asymptote verticale.

$x = \sqrt{5}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 5 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

Étape 8.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0$

$5 x$

$3 x$

$3$

Étape 8.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{3 x + 3}{x^{2} - 5}$

Étape 8.8

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 10