Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ comme une équation.

$y = \sqrt[5]{x} + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[5]{y} + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[5]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[5]{y} + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[5]{y} = x - 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{y}$ comme $y^{\frac{1}{5}}$ .

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 4)}^{5}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 4)}^{5}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 4 + 10 x^{3} {(- 4)}^{2} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{3} {(- 4)}^{2} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 16 + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $10$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} + 10 x^{2} {(- 4)}^{3} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 64 + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.5

Multipliez $- 64$ par $10$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 5 x {(- 4)}^{4} + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.6

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 5 x \cdot 256 + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.7

Multipliez $256$ par $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x + {(- 4)}^{5}$

Étape 3.4.3.1.2.8

Élevez $- 4$ à la puissance $5$ .

$y = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {\sqrt[5]{x}}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x^{\frac{5}{5}} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.1.5

Simplifiez

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 5 \sqrt[5]{x^{4}} \cdot 4 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.4

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 4^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 16 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.6

Multipliez $16$ par $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4^{3} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.8

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 64 + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.9

Multipliez $64$ par $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{4} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.10

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 256 + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.11

Multipliez $256$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 4^{5} - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.2.12

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{4} + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 ({\sqrt[5]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 4 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.4

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 16 + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.6

Multipliez $16$ par $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.7

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.4.7.1

Déplacez $4^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[5]{x}) + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.7.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

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Étape 5.2.3.4.7.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[5]{x}) + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{3 + 1} \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 4^{4} \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.8

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 256 \sqrt[5]{x} + 4^{4}) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.4.9

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 (\sqrt[5]{x^{4}} + 16 \sqrt[5]{x^{3}} + 96 \sqrt[5]{x^{2}} + 256 \sqrt[5]{x} + 256) + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 20 (16 \sqrt[5]{x^{3}}) - 20 (96 \sqrt[5]{x^{2}}) - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $16$ par $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 20 (96 \sqrt[5]{x^{2}}) - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $96$ par $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 20 (256 \sqrt[5]{x}) - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.6.3

Multipliez $256$ par $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 20 \cdot 256 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.6.4

Multipliez $- 20$ par $256$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{3} - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.7

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 ({\sqrt[5]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.8.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 16 + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 48 \sqrt[5]{x} + 4^{3}) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.8.6

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 (\sqrt[5]{x^{3}} + 12 \sqrt[5]{x^{2}} + 48 \sqrt[5]{x} + 64) - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 160 (12 \sqrt[5]{x^{2}}) + 160 (48 \sqrt[5]{x}) + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.10

Simplifiez

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Étape 5.2.3.10.1

Multipliez $12$ par $160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 160 (48 \sqrt[5]{x}) + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.10.2

Multipliez $48$ par $160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 160 \cdot 64 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.10.3

Multipliez $160$ par $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 {(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2} + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.11

Réécrivez ${(\sqrt[5]{x} + 4)}^{2}$ comme $(\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ((\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.12

Développez $(\sqrt[5]{x} + 4) (\sqrt[5]{x} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} (\sqrt[5]{x} + 4) + 4 (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[5]{x} + 4)) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.13.1.1

Multipliez $\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x}$ .

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Étape 5.2.3.13.1.1.1

Élevez $\sqrt[5]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.1.2

Élevez $\sqrt[5]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ({\sqrt[5]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 ({\sqrt[5]{x}}^{2} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + \sqrt[5]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[5]{x} + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \cdot 4) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} + 4 \sqrt[5]{x} + 16) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.13.2

Additionnez $4 \sqrt[5]{x}$ et $4 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 (\sqrt[5]{x^{2}} + 8 \sqrt[5]{x} + 16) + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.14

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 640 (8 \sqrt[5]{x}) - 640 \cdot 16 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.15

Simplifiez

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Étape 5.2.3.15.1

Multipliez $8$ par $- 640$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 640 \cdot 16 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.15.2

Multipliez $- 640$ par $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 (\sqrt[5]{x} + 4) - 1024$

Étape 5.2.3.16

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \cdot 4 - 1024$

Étape 5.2.3.17

Multipliez $1280$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 20 \sqrt[5]{x^{4}} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 20 \sqrt[5]{x^{4}} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $20 \sqrt[5]{x^{4}}$ de $20 \sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 1920 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1920 \sqrt[5]{x^{2}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 1920 \sqrt[5]{x^{2}}$ et $1920 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 640 \sqrt[5]{x^{2}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 640 \sqrt[5]{x^{2}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $640 \sqrt[5]{x^{2}}$ de $640 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 10240 - 5120 \sqrt[5]{x} - 10240 + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.7

Soustrayez $10240$ de $10240$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} + 0 - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.8

Additionnez $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} - 5120 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} + 5120 - 1024$

Étape 5.2.4.1.9

Additionnez $- 5120$ et $5120$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 0 + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} - 1024$

Étape 5.2.4.1.10

Additionnez $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 1024 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x} - 1024$

Étape 5.2.4.1.11

Soustrayez $1024$ de $1024$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} + 0 - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.1.12

Additionnez $x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 320 \sqrt[5]{x^{3}} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $320 \sqrt[5]{x^{3}}$ de $160 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 160 \sqrt[5]{x^{3}} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 160 \sqrt[5]{x^{3}}$ et $160 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0 + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 1280 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.4

Soustrayez $5120 \sqrt[5]{x}$ de $1280 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 3840 \sqrt[5]{x} + 7680 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.5

Additionnez $- 3840 \sqrt[5]{x}$ et $7680 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 3840 \sqrt[5]{x} - 5120 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.6

Soustrayez $5120 \sqrt[5]{x}$ de $3840 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x - 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$

Étape 5.2.4.7

Associez les termes opposés dans $x - 1280 \sqrt[5]{x} + 1280 \sqrt[5]{x}$ .

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Étape 5.2.4.7.1

Additionnez $- 1280 \sqrt[5]{x}$ et $1280 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.7.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} + 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024} + 4$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024} + 4$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{x^{5} - 5 \cdot (4 x^{4}) + 10 \cdot (4^{2} x^{3}) - 10 \cdot (4^{3} x^{2}) + 5 \cdot (4^{4} x) - 1 \cdot 4^{5}} + 4$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $x^{5} - 5 \cdot 4 x^{4} + 10 \cdot 4^{2} x^{3} - 10 \cdot 4^{3} x^{2} + 5 \cdot 4^{4} x - 1 \cdot 4^{5}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = \sqrt[5]{{(x - 4)}^{5}} + 4$

Étape 5.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x - 4 + 4$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[5]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$