Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ comme une équation.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Étape 3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Étape 3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Étape 3.4.1.1.2

Simplifiez

$y = {(7 + x)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(7 + x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Réécrivez ${(7 + x)}^{2}$ comme $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

Étape 3.4.2.1.2

Développez $(7 + x) (7 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Étape 3.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Étape 3.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Étape 3.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Étape 3.4.2.1.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Étape 3.4.2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Additionnez $7 x$ et $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez $49 + 14 x + x^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Étape 3.5.2

Remettez dans l’ordre $14 x$ et $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.2

Développez $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.3

Déplacez $- 7$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.1.4

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.3.2

Soustrayez $7 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $14$ par $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ et $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $98$ de $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 49 + 49$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 49$ et $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} + 14 x + 49)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 5.3.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 5.3.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$