Pré-calcul Exemples

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ est indéfinie.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 2

Comme $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Comme $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la gauche et $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $1$ depuis la droite, $x = 1$ est une asymptote verticale.

$x = 1$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 1, 1$

Étape 5

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 5.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Étape 5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5.3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.4.4

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 5.5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.5.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.8.2

Simplifiez

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Étape 5.5.1.2.8.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.8.3

Additionnez $- 1 x$ et $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.8.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.2.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Étape 5.5.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Étape 5.5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Étape 5.5.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.7

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.12

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.14

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.15

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 5.5.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Étape 5.5.4

Réduisez.

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Étape 5.5.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Étape 5.5.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Étape 5.5.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Étape 5.5.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 5.6

Évaluez la limite.

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Étape 5.6.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.6.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 5.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 5.6.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 6.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Étape 6.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 6.3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.4.5

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 6.5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.5.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.8.2

Simplifiez

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Étape 6.5.1.2.8.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.8.3

Additionnez $- 1 x$ et $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.8.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.2.9

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Étape 6.5.1.3

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Étape 6.5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Étape 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.7

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.12

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.14

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.15

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Étape 6.5.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Étape 6.5.4

Réduisez.

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Étape 6.5.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Étape 6.5.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Étape 6.5.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Étape 6.5.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.6

Évaluez la limite.

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Étape 6.6.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1}}$

Étape 6.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

Étape 6.6.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Étape 6.6.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 6.6.2.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 6.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.6.2.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.6.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 6.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$

Étape 7

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 2, - 2$

Étape 8

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1, 1$

Asymptotes horizontales : $y = 2, - 2$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 10