Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ comme une équation.

$y = x^{\frac{1}{4}} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{\frac{1}{4}} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{4}} - x = 3$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{4}} = 3 + x$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(3 + x)}^{4}$

Étape 3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Étape 3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Étape 3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(3 + x)}^{4}$

Étape 3.4.1.1.2

Simplifiez

$y = {(3 + x)}^{4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(3 + x)}^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = 3^{4} + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$y = 81 + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = 81 + 4 \cdot 27 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 9 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.4.2.1.2.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$

Étape 3.5

Simplifiez $81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez $81$ .

$y = 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 81$

Étape 3.5.2

Déplacez $108 x$ .

$y = 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 108 x + 81$

Étape 3.5.3

Déplacez $54 x^{2}$ .

$y = 12 x^{3} + x^{4} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Étape 3.5.4

Remettez dans l’ordre $12 x^{3}$ et $x^{4}$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.2

Simplifiez

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{3}{4}} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.6

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.7

Multipliez $9$ par $6$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.8

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.9

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.2.10

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{1}{4} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.5

Multipliez $9$ par $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.4.6

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} - 27) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} + 12 (- 9 x^{\frac{1}{2}}) + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $- 9$ par $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $27$ par $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.6.3

Multipliez $12$ par $- 27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 ((x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.8

Développez $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} (x^{\frac{1}{4}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.9.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.9.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.9.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.9.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.9.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{4}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 54 (- 6 x^{\frac{1}{4}}) + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez

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Étape 5.2.3.11.1

Multipliez $- 6$ par $54$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.11.2

Multipliez $54$ par $9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Étape 5.2.3.12

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} + 108 \cdot - 3 + 81$

Étape 5.2.3.13

Multipliez $108$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Additionnez $- 12 x^{\frac{3}{4}}$ et $12 x^{\frac{3}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 0 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Étape 5.2.4.1.3

Soustrayez $324 x^{\frac{1}{4}}$ de $324 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Étape 5.2.4.1.5

Additionnez $- 108 x^{\frac{1}{4}}$ et $108 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 0 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $108 x^{\frac{1}{2}}$ de $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 54 x^{\frac{1}{2}}$ et $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0 + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.4.4.1

Soustrayez $324$ de $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $- 243$ et $486$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $324$ de $243$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 81 + 81$

Étape 5.2.4.5

Associez les termes opposés dans $x - 81 + 81$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0$

Étape 5.2.4.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = {(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)}^{\frac{1}{4}} - 3$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$