Pré-calcul Exemples

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{3}$

Étape 2

Utilisez la formule pour une séquence géométrique $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ afin de déterminer le nombre de termes, $n$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du dernier terme et du rapport entre termes dans la formule.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 2.2

Résolvez $n$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Étape 2.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Étape 2.2.2.2

Associez $81$ et $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Étape 2.2.3

Multipliez les deux côtés par $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.2.1

Associez $\frac{1}{81}$ et $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Étape 2.2.5

Résolvez $n$ .

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Étape 2.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Étape 2.2.5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 2.2.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Étape 2.2.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Étape 2.2.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.3.2.1

Multipliez $81$ par $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Étape 2.2.5.4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Étape 2.2.5.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$n - 1 = 8$

Étape 2.2.5.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.5.6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$n = 8 + 1$

Étape 2.2.5.6.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$n = 9$

Étape 3

Utilisez la formule pour la somme d’une séquence géométrique $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ afin de déterminer la somme.

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du rapport et du nombre de termes dans la somme formule.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.7.2

Soustrayez $19683$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9

Associez les exposants.

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Étape 3.2.1.9.1

Factorisez le signe négatif.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9.2

Associez $81$ et $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.9.3

Multipliez $81$ par $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10

Annulez le facteur commun à $1594242$ et $19683$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Factorisez $81$ à partir de $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.10.2.1

Factorisez $81$ à partir de $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.2.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 3.2.2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.2.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Étape 3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Étape 3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$