Pré-calcul Exemples

$10 + 5 x = - {(1 - y)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Divisez $- 10$ par $5$ .

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} - 2$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(1 - y)}^{2}$ comme $(1 - y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{5} \cdot ((1 - y) (1 - y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(1 - y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 (1 - y) - y (1 - y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - y (- y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + 1 y^{2}) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + y^{2}) - 2$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - 2 y + y^{2}) - 2$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $- \frac{1}{5} (- 2 y)$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $y$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - 2$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 10}{5}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $10$ de $- 1$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 11}{5}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{11}{5}$

Étape 1.2.1.7

Remettez dans l’ordre $\frac{2 y}{5}$ et $- \frac{y^{2}}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{11}{5}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{2}{5}$

$c = - \frac{11}{5}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{1}{5 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = \frac{1}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 5}{5}}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.4.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} (- \frac{5}{4}))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{25} \cdot - 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 (5)} \cdot - 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.7

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{- 1}{5}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{11}{5} - - \frac{1}{5}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Multipliez $- - \frac{1}{5}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Étape 1.2.5.2.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$e = - \frac{11}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 11 + 1}{5}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $- 11$ et $1$ .

$e = \frac{- 10}{5}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 10$ par $5$ .

$e = - 2$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 2$

$k = 1$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Étape 4