Pré-calcul Exemples

$\sqrt{\frac{x + 4}{x - 3}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x + 4}{x - 3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 4}{x - 3} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4$

$x = 3$

Étape 2.5

Consolidez les solutions.

$x = - 4, 3$

Étape 2.6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 4}{x - 3}$ .

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Étape 2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 4}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) - 3} \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $0.\overline{2}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 4}{(0) - 3} \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 1.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 4}{(6) - 3} \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $3.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 4$ ou $x > 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 4}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4] \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 4, x > 3}$

Étape 6