Pré-calcul Exemples

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

Étape 1

C’est une séquence arithmétique car il y a une différence commune entre chaque terme. Dans ce cas, l’ajout de $2$ au terme précédent dans la séquence produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Séquence arithmétique : $d = 2$

Étape 2

Utilisez la formule pour une séquence arithmétique $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ afin de déterminer le nombre de termes, $n$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du dernier terme et de la différence entre termes dans la formule.

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

Étape 2.2

Résolvez $n$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $1 + 2 (n - 1) = 101$ .

$1 + 2 (n - 1) = 101$

Étape 2.2.2

Simplifiez $1 + 2 (n - 1)$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + 2 n - 2 = 101$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 n - 1 = 101$

Étape 2.2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 n = 101 + 1$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $101$ et $1$ .

$2 n = 102$

Étape 2.2.4

Divisez chaque terme dans $2 n = 102$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 n = 102$ par $2$ .

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{102}{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Divisez $102$ par $2$ .

$n = 51$

Étape 3

Utilisez la formule pour la somme d’une séquence arithmétique $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ afin de déterminer la somme.

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs du premier terme, du dernier terme et du nombre de termes dans la formule de la somme.

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Additionnez $1$ et $101$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $102$ .

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{n} = 51 \cdot 51$

Étape 3.2.3

Multipliez $51$ par $51$ .

$S_{n} = 2601$