Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ comme une équation.

$y = \sqrt[4]{x} + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[4]{y} + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[4]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[4]{y} + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[4]{y} = x - 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{y}$ comme $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 4)}^{4}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 4)}^{4}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 4 + 6 x^{2} {(- 4)}^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} {(- 4)}^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 16 + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $6$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 x {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} + 4 x \cdot - 64 + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.5

Multipliez $- 64$ par $4$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + {(- 4)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.6

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$y = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.1.5

Simplifiez

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 4 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2}{4}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.4.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 4^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 16 + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.6

Multipliez $16$ par $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{3} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.7

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.2.7.1

Déplacez $4^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[4]{x}) + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.7.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

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Étape 5.2.3.2.7.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3} \cdot (4 \sqrt[4]{x}) + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{3 + 1} \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 4^{4} \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.8

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 4^{4} - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.2.9

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{3} + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 4 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 16 + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 48 \sqrt[4]{x} + 4^{3}) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.4.6

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 (\sqrt[4]{x^{3}} + 12 \sqrt{x} + 48 \sqrt[4]{x} + 64) + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 16 (12 \sqrt{x}) - 16 (48 \sqrt[4]{x}) - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $12$ par $- 16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 16 (48 \sqrt[4]{x}) - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $48$ par $- 16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 16 \cdot 64 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.6.3

Multipliez $- 16$ par $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 {(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2} - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez ${(\sqrt[4]{x} + 4)}^{2}$ comme $(\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ((\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.8

Développez $(\sqrt[4]{x} + 4) (\sqrt[4]{x} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 4) + 4 (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[4]{x} + 4)) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 5.2.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.9.1.1

Multipliez $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

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Étape 5.2.3.9.1.1.1

Élevez $\sqrt[4]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.2

Élevez $\sqrt[4]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.9.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.9.1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 4 \cdot \sqrt[4]{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \cdot 4) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 4 \sqrt[4]{x} + 16) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.9.2

Additionnez $4 \sqrt[4]{x}$ et $4 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 (\sqrt{x} + 8 \sqrt[4]{x} + 16) - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 96 (8 \sqrt[4]{x}) + 96 \cdot 16 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez

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Étape 5.2.3.11.1

Multipliez $8$ par $96$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 96 \cdot 16 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.11.2

Multipliez $96$ par $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 (\sqrt[4]{x} + 4) + 256$

Étape 5.2.3.12

Appliquez la propriété distributive.

Étape 5.2.3.13

Multipliez $- 256$ par $4$ .

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 16 \sqrt[4]{x^{3}} + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 16 \sqrt[4]{x^{3}} - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $16 \sqrt[4]{x^{3}}$ de $16 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 0 + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 768 \sqrt[4]{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 768 \sqrt[4]{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 768 \sqrt[4]{x}$ et $768 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} + 0 - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 \sqrt[4]{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 256 \sqrt[4]{x} - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $256 \sqrt[4]{x}$ de $256 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 0 + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 96 \sqrt{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 96 \sqrt{x} + 256 - 192 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $192 \sqrt{x}$ de $96 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 - 96 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x + 256 - 96 \sqrt{x} - 1024 + 96 \sqrt{x} + 1536 - 1024 + 256$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 96 \sqrt{x}$ et $96 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 + 0 - 1024 + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x + 256$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 256 - 1024 + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.4.4.1

Soustrayez $1024$ de $256$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x - 768 + 1536 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $- 768$ et $1536$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 768 - 1024 + 256$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $1024$ de $768$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x - 256 + 256$

Étape 5.2.4.5

Associez les termes opposés dans $x - 256 + 256$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Additionnez $- 256$ et $256$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256} + 4$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256} + 4$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (4 x^{3}) + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) - 4 \cdot (4^{3} x) + 4^{4}} + 4$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $x^{4} - 4 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot 4^{2} x^{2} - 4 \cdot 4^{3} x + 4^{4}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = \sqrt[4]{{(4 - x)}^{4}} + 4$

Étape 5.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = 4 - x + 4$

Étape 5.3.5

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256) = - x + 8$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 16 x^{3} + 96 x^{2} - 256 x + 256$