Pré-calcul Exemples

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $889$ aux deux côtés de l’équation.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $11 x^{2} + 22 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{11}{11}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{11}{11}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $484$ par $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$e = 0 - 11$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $11$ de $0$ .

$e = - 11$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Étape 1.3

Remplacez $11 x^{2} + 22 x$ par $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ dans l’équation $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Étape 1.4

Déplacez $- 11$ du côté droit de l’équation en ajoutant $11$ des deux côtés.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 25 y^{2} + 250 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $250$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{125}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $125$ et $- 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = - 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $250$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $62500$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $625$ .

$e = 625$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Étape 1.6

Remplacez $- 25 y^{2} + 250 y$ par $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ dans l’équation $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Étape 1.7

Déplacez $625$ du côté droit de l’équation en ajoutant $625$ des deux côtés.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Étape 1.8

Simplifiez $889 + 11 - 625$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $889$ et $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Étape 1.8.2

Soustrayez $625$ de $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $275$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, 5)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 11}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Additionnez $25$ et $11$ .

$\sqrt{36}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$6$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 5)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, 5)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, 5)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 7, 5)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Étape 8.3.3

Additionnez $25$ et $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6}{5}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Étape 9.3

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 9.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{11^{1}}{6}$

Étape 9.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{11}{6}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{\sqrt{11}}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{5}$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Étape 12.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 1, 5)$

Sommets : $(4, 5), (- 6, 5)$

Foyers : $(5, 5), (- 7, 5)$

Excentricité : $\frac{6}{5}$

Paramètre focal : $\frac{11}{6}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Étape 15