Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{5 - x}{x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{5 - x}{x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{5 - x}{x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 5$

Étape 2.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, 5$

Étape 2.6

Déterminez le domaine de $\frac{5 - x}{x}$ .

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Étape 2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 - x}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.6.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 - (- 2)}{- 2} \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 3.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 - (2)}{2} \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $1.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 - (8)}{8} \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 0.375$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 5$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 - x}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 5]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x \leq 5}$

Étape 5