Pré-calcul Exemples

Séparer à l''aide de la décomposition en éléments simples (x^2-3x-1)/(x^3+x^2-2x)
Étape 1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez la fraction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.3
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.4
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.7
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.7.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.7.2
Divisez par .
Étape 1.8
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.8.1.2
Divisez par .
Étape 1.8.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.3.1.1
Multipliez par .
Étape 1.8.3.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.8.3.1.3
Réécrivez comme .
Étape 1.8.3.1.4
Multipliez par .
Étape 1.8.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.8.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.5
Déplacez à gauche de .
Étape 1.8.6
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.8.6.2
Divisez par .
Étape 1.8.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.8
Multipliez par .
Étape 1.8.9
Déplacez à gauche de .
Étape 1.8.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.11
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.8.12
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.8.12.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.8.12.2
Divisez par .
Étape 1.8.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.14
Multipliez par .
Étape 1.8.15
Déplacez à gauche de .
Étape 1.8.16
Réécrivez comme .
Étape 1.8.17
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.8.18
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.9
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.9.1
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.9.2
Déplacez .
Étape 1.9.3
Déplacez .
Étape 1.9.4
Déplacez .
Étape 1.9.5
Déplacez .
Étape 2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 2.3
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 2.4
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 3
Résolvez le système d’équations.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 3.1.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.1.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.3.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 3.2.4
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.4.1
Réécrivez comme .
Étape 3.3
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 3.3.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.3.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.3.2.3
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 3.3.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.3.2.5
Soustrayez de .
Étape 3.4
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 3.4.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.1
Déterminez le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.1.1
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 3.4.2.1.1.2
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.1.3
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.1.4
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 3.4.2.1.1.5
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.1.6
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.4.2.1.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.4.2.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.4.2.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.4.2.1.3.3
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.3.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.4.2.1.3.5
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.3.6
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.3.7
Multipliez par .
Étape 3.4.2.1.4
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.4.1
Additionnez et .
Étape 3.4.2.1.4.2
Soustrayez de .
Étape 3.4.2.1.4.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1.4.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.4.2.1.4.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.4.2.1.4.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.5
Résolvez dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 3.5.2
Multipliez les deux côtés par .
Étape 3.5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.1.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.1.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.3.1.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.5.3.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.1.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.1.1.3.1
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.1.3.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.1.3.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 3.5.3.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.3.2.1
Multipliez par .
Étape 3.5.4
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.1.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.5.4.1.2
Soustrayez de .
Étape 3.5.4.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.5.4.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.4.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.5.4.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.2.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.4.2.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.2.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.4.2.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.6
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.6.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 3.6.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.6.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.6.2.1.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.6.2.1.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.6.2.1.2.1
Soustrayez de .
Étape 3.6.2.1.2.2
Divisez par .
Étape 3.7
Indiquez toutes les solutions.
Étape 4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour , et .