Pré-calcul Exemples

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x^{5} + 2 x^{3} + x}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x^{1}}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Étape 1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Étape 1.1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2} + 1)}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1)}$

Étape 1.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1)}$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Étape 1.1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 1.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(u + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$

Étape 1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) ({(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.6.2

Divisez $3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.1.2

Divisez $A ({(x^{2} + 1)}^{2})$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ({(x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.2

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.3

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + A (2 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.6

Simplifiez

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Étape 1.7.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.7

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.7.7.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.7.2

Divisez $(B x + C) (x)$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.8

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.9.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.10

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} + 1)}^{2}$ et $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.7.10.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Étape 1.7.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.10.2.1

Multipliez par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 1.7.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Étape 1.7.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (x^{2} + 1))}{1}$

Étape 1.7.10.2.4

Divisez $(D x + F) (x (x^{2} + 1))$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (x^{2} + 1))$

Étape 1.7.11

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Étape 1.7.12

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.12.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.12.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Étape 1.7.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{1 + 2} + x \cdot 1)$

Étape 1.7.12.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x \cdot 1)$

Étape 1.7.13

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x)$

Étape 1.7.14

Développez $(D x + F) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (x^{3} + x) + F (x^{3} + x)$

Étape 1.7.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (x^{3} + x)$

Étape 1.7.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.15.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.15.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.7.15.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.15.2.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D (x \cdot x) + F x^{3} + F x$

Étape 1.7.15.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Déplacez $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Étape 1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Étape 1.8.3

Remettez dans l’ordre $F$ et $x^{3}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Étape 1.8.4

Remettez dans l’ordre $F$ et $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Étape 1.8.5

Déplacez $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x + A$

Étape 1.8.6

Déplacez $C x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + C x + F x + A$

Étape 1.8.7

Déplacez $D x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + F x^{3} + D x^{2} + C x + F x + A$

Étape 1.8.8

Déplacez $B x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + D x^{4} + F x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Étape 1.8.9

Déplacez $2 x^{2} A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + D x^{4} + F x^{3} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{4}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = A + D$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = F$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = 2 A + B + D$

Étape 2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$6 = C + F$

Étape 2.5

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = A$

Étape 2.6

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $F = 1$ .

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $F$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $F$ dans $6 = C + F$ par $1$ .

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’équation comme $A = 3$ .

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $3$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $C + 1 = 6$ .

$C + 1 = 6$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = 6 - 1$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $3 = A + D$ par $3$ .

$3 = (3) + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Supprimez les parenthèses.

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Étape 3.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $4 = 2 A + B + D$ par $3$ .

$4 = 2 (3) + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.3.6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.4

Résolvez $D$ dans $3 = 3 + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $3 + D = 3$ .

$3 + D = 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $D$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$D = 3 - 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.5

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $4 = 6 + B + D$ par $0$ .

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.5.2

Simplifiez $4 = 6 + B + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Additionnez $6 + B$ et $0$ .

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.6

Résolvez $B$ dans $4 = 6 + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $6 + B = 4$ .

$6 + B = 4$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$B = 4 - 6$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.6.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Étape 3.7

Résolvez le système d’équations.

$B = - 2 D = 0 C = 5 A = 3 F = 1$

Étape 3.8

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 2, D = 0, C = 5, A = 3, F = 1$

Étape 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3}{x} + \frac{(- 2) \cdot x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$